孤立子与可积系统

该方向是当今非线性科学研究的主流方向。它在光纤通讯、浅水波、等离子体、磁流体、超导等科技领域有着重要的应用背景。其研究涉及众多主干数学分支，包括常微分方程、偏微分方程、泛函分析、微分几何、椭圆函数、代数函数、代数曲线、微分拓扑、辛几何、李群与李代数及表示论、无穷维李代数等。它的研究对许多数学分支及交叉学科的发展都有重要影响和促进作用。经过多年努力，本方向已形成博士导师曹策问教授为中心的强有力的研究群体，并取得了一系列重要研究成果。由曹策问教授首创的Lax对非线性方法，用以从线性特征值问题产生新的有限维可积系统，深刻揭示了有限维的经典可积系统与无限维孤子系统的内在联系。与此同时，成功地解决了非线性化映射u=f(φ)将有限维的经典可积系统的解簇，映为定态孤子方程解簇的”满射”问题。并为孤子向量场换位表示的研究提供了一个非常基本的框架，引起了国内关于空间多维孤子方程的研究。在微分算子特征值问题的研究中，曹策问教授将著名的Gelfand-levitan迹恒等式推广到困难的偏微分方程情形，解决了复杂的非自伴二阶常微分算子的迹的计算问题。最近，又出色地做出了Hill-Schrodinger算子谱带右端点的迹公式，为研究其他孤子系统的谱结构提出了一个可以大为深入的课题。本方向的研究成果在国内外孤子界产生了深刻影响，为该领域研究开创了一个新局面，已列入国家《攀登计划》项目——《非线性科学》子课题”可积动力系统”。